Шпаргалки по Высшей Математике

      Комментарии к записи Шпаргалки по Высшей Математике отключены

Шпаргалки по Высшей Математике.rar
Закачек 671
Средняя скорость 2122 Kb/s
Скачать

Основы дифференциального исчисления . Понятие производной.

X=X1-X – приращение аргумента.

f(X)=f(X+X)-f(X) – приращение функции. Пример:

Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0.

Геометрический смысл производной.

Ку.к. – угловой коэф. касательной.

Ксек – угловой коэф. секущей.

Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид:

Физический смысл производной.

S(t) – путь за данное время.

S(t) – приращение пути.

S(t)/ t –средняя скорость на участке.

мгновен. скорость на участке:

произв. пути от скорости: S'(t)=U(t)

Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную.

Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Доказательство 2-го правила.Теорема о произв. сложной функции.

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b].

g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого  X [a,b]

f(g(y))=y, для любого у [f(a),f(b)]

y=sin x [-/2, /2], тогда

x=arcsin y, y[1,1]

sin arcsin y = y;

arcsin * sin x=x

Размер архива: 177 кb
Скачать

Также Формулы
1. Основы дифференциального исчисления . Понятие производной.
2. Правила дифференцирования
3. Таблица производных
4. Производная высших порядков.
5. Основные теоремы матим. анализа.
6. Правила Лопиталя. Раскрытие неопределенности.
7. Аналитические признаки поведения функции.
8. Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывных функций на замкнутом промежутке.
9. Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз.
10. Теорема: Необходимый признак существования наклонной
11. Правила дифференцирования.

Нет комментариев

Авторизуйтесь, если хотите добавить комментарий.

1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель — число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11 ) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3-го порядка (Ñ3) равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-».

2. Свойства определителей.

1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то Ñ этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: çА ç=÷ А’÷ . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и Ñ этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её Ñ равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то Ñ этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.

Минором М ij квадратной матрицы n-го порядка для элемента а ij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

4. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением А ij для элемента квадратной матрицы а ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1) i + j .

5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n -ого порядка.

Определителем квадратной матрицы n -ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1) r ( j ) , где r(j)-число инверсий). Теорема Лапласа : определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

6. Матрицы. Основные определения.

Матрицей размера m xn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом — из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n -ого порядка . Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы . Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной . Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е . Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей .

7. Операции над матрицами.

1)Умножение матрицы на число : условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, равная lА, каждый элемент которой находится по формуле: bij =lxaij . Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц : условие — складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С ij =a ij +b ij . Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц : операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц : умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера m xk на матрицу В размера k xn называется матрица С размера m xn , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень : возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А m называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование : условий нет; транспонирование -операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной , если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А@ (на месте каждого эл-та А т его алгебраич.доп-я). 5) А -1 = 1/DА *A@. 6) Проверка=>А -1 *А=Е.

9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы [rangA=r(A)]. Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования : 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы.

10. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Матричная форма записи.

Линейным ур-ем относительно неизвестных x1 ,x2 ,…,xn называется выражение видаa1 x1 +a2 x2 +…+an xn =b, где a1 ,a2 ,…,an и b- простые числа, причём a1 ,a1 ,…,an называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Последовательность чисел k1 ,k2 ,…,kn называется решением ур-я , если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное равенство. Два линейных ур-я называются равносильными , если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число, отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой , если решений множество. Неизвестное x 1 называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я системы неизвестное x1 не входит. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой . Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными . Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы . Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей .

11. Правило Крамера.

Правило Крамера : пусть DА-определитель матрицы системы, а Dj-определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если DА¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле ¾Xj = D j / D A .

12. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли : СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение.

13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.

Метод Гаусса : каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX1 +OX2 +. +OXn =b. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестное x 1 называют разрешённым , если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x 1 с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестноеx 1 не входит.


Статьи по теме